Perkalian Bilangan Bulat

Sifat-sifat perkalian :

     1.       Sifat tertutup terhadap perkalian

     2.       Sifat komunikatif perkalian

      a x b = b x a

     3.       Sifat assosiatif perkalian

     ( a x b ) x c = a x ( b x c )

     4.       Sifat distributif perkalian

     a x ( b + c ) = ( a x b ) + ( a x c )

     ( a + b ) x c = ( a x c ) + ( b x c )

      Untuk setiap  a, ada elemen tunggal 1 elemen of B sehingga a x 1 = 1 x a = a, 

      1 disebut elemen identitas perkalian.

Contoh :

Buktikan bahwa (-a) x (-b) = a x b

Bukti :

    (1)    : (-a) x (b+(-b)) = (-a) x 0                               Sifat invers penj. dan perkalian bil.bul dg 0

    (2)    : (-a) x (b+(-b)) = ((-a) x b) + ((-a)x(-b))       sifat distributif

    (3)    : ((-a)xb) + ((-a)x(-b)) = 0                              sifat transitif dari (1) dan (2)

    (4)    : -(axb) + ((-a)x(-b)) = 0                                               

    (5)    : -(axb) + (axb) = 0                                         (4) & (5) sifat invers penjumlahan

    (6)    : (-(axb)+((-a)x(-b)) = (-(axb))+(axb)            sifat transitif dari (4) dan (5)

    (7)    : (-a) x (-b) = (a x b)                                        sifat kanselisasi

(Terbukti)

Pengurangan Bilangan Bulat

Definisi 3 :

                Jika a, b dan k bilangan bulat, maka a - b = k jika dan hanya jika a = b + k.

                Untuk menunjukkan bahwa pengurangan bilangan bulat bersifat tertutup dapat dilakukan dengan menunjukkan adanya bilangan bulat k sedemikian sehingga a – b = k.

Menurut definisi a – b = k jika dan hanya jika a = b + k

a + (-b) = ( b + k ) + ( -b)

             = ( k + b) + ( -b )               

             = ( k ) + ( b + ( -b ))          

             = ( k ) + 0

a + ( -b ) = k

k = a + ( -b ) menunjukkan bahwa ada bilangan bulat k sedemikian sehingga a – b = k.

Catatan :

Pengurangan suatu bilangan bulat dengan bilangan bulat lain sama dengan penjumlahan bilangan bulat yang dikurangi dengan lawan dari bilangan bulat pengurangnya.

Penjumlahan Bilangan Bulat

Sistem Bilangan Bulat
Penjumlahan Bilangan Bulat
 
Definisi 1 :
Jika n suatu biangan bulat, maka n + (-n) = (-n) + n = 0.
(-n) disebut lawan dari (invers penjumlahan dari) n, dan 0 disebut elemen identitas terhadap penjumlahan.

Definisi 2 :
Sistem bilangan bulat terdiri dari  himpunan B = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...} dengan operasi penjumlahan (+) dan perkalian (x). Untuk a, b, dan c bilangan-bilangan bulat sembarang, mempunyai sifat-sifat sebagai berikut :

1. Tertutup terhadap penjumlahan
2. Sifat komutatif penjumlahan
    a + b = b + a
3. Sifat asosiatif penjumlahan
    (a + b) +c = a + (b + c)
4. Sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan
    a×(b+c)=(a×b)+ (a×b)
    (a+b)×c=(a×c)+ (b×c)
5. ∀a ada eleman tunggal 0 ∈ B , sehingga a + 0 = 0 + a=a
     0 disebut identitas penjumlahan

Penjumlahan Dua Bilangan Bulat Negatif
Teorema 1 :
Jika a dan b bilangan-bilangan bulat positif, maka (-a)+(-b)=-(a+b)

Bukti :
Misal c=(-a)+(-b)
Maka :
    c+b=((-a)+(-b) )+b
     c+b=(-a)+((-b)+b))
     c+b=(-a)+0
     c+b=(-a)
     (c+b)+a=(-a)+a
     (c+b)+a=0
     c+(b+a)=0
     c+(a+b)=0
     c+(a+b)+(-(a+b) )=0+(-(a+b) )
     c+0=-(a+b)
     c=-(a+b)
                    (terbukti)